kalkulus

Jumat, 03 Juli 2020

Sistem Bilangan

Pengertian Sistem bilangan

Sistem bilangan merupakan konsep di dalam matematika yang digunakan untuk perhitungan,pengukuran dan pencacahan.Sistem bilangan terbagi menjadi beberapa kelompok,dan himpunan bilangan terbesar adalah bilangan kompleks,yang memuat didalamnya himpunan bilangan real.

Bilangan Real

Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu sebagai garis real.

Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masing-masing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam diagram venn?

Operasi pada Bilangan Real

· Operasi Penjumlahan

· Operasi Pengurangan

· Operasi Perkalian

· Operasi Pembagian

Macam-Macam Bilangan Real

Berikut ini terdapat beberapa macam-macam bilangan real, yakni sebagai berikut:

Bilangan Asli (A)

Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk

membilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,…

A = {1,2,3,4,…}

Bilangan Genap (G)

Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, nÎA

G = {2,4,6,8,…}

Bilangan Ganjil (Gj)

Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, nÎA

Gj = {1,3,5,7,…}

Bilangan Prima (P)

Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari 2 dan

hanya dapat dibagi oleh bilngan itu sendiri dan ± 1

P = {2,3,5,7,…}

Bilangan Komposit (Km)

Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan yang lain

Km = {4,6,8,9,…}

Bilangan Cacah (C)

Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol

C = {0,1,2,3,4,…}

Bilangan Bulat (B)

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangan bulat positif.

B = {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}

Limit Fungsi

Pengertian Limit Fungsi

Limit fungsi adalah perilaku suatu fungsi mendekati suatu nilai tertentu.

Jika suatu fungsi memetakan hasil f(x) untuk setiap nilai x, maka fungsi tersebut memiliki limit dimana x mendekati suatu nilai untuk f(x).

Sifat Limit Fungsi

Jika n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g ialah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka berlaku teorema-teorema berikut.

$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}k=k\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}x=c\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}kf(x)=k\lim_{x\rightarrow c}f(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)+g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x)+ \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)-g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x)- \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)\times g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x) \times \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow c}{}f(x)}{\lim_{x\rightarrow c}g(x)} \hspace{0.1cm} dengan \lim_{x\rightarrow c}g(x) \neq 0 \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}[f(x)]^n=[\lim_{x\rightarrow c}f(x)]^n \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}\sqrt[n]{f(x)}= \sqrt[n]{\lim_{x\rightarrow c}f(x)} \hspace{0.1cm} dengan \lim_{x\rightarrow c}f(x) \geq 0 \end{align*}$

Mencari Nilai Limit

Metode substitusi

Metode ini dilakukan dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x).

Contoh Soal:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{2}x+4 &=\frac{1}{2} \times 2+4\\ &=1 + 4\\ &=5 \end{align*}$

Metode pemfaktoran

Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:

$\infty,\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}, 0 \times \infty,\infty-\infty, 0^{0},\infty^0, atau \infty^\infty$

maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu, kemudian bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-9}{x-3}&=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}\\ &=\lim_{x\rightarrow 2}(x+3)\\ &=2+3\\ &=5 \end{align*}$

Metode mengalikan dengan faktor sekawan

Jika pada metode substitusi menghasilkan nilai limit yang irasional, maka fungsi dikalikan dengan akar sekawannya, kemudian bisa disubstitusikan.

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-7}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} &=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-7}{\sqrt{x}-\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{7}}{\sqrt{x}+\sqrt{7}}\\ &=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-7)(\sqrt{x}+\sqrt{7})}{x-7}\\ &=\lim_{x\rightarrow 2}(\sqrt{x}+\sqrt{7})\\ &=\sqrt{7}+\sqrt{7}\\ &=2\sqrt{7} \end{align*}$

semogaaa bermanfaat........... sekian terimakasihh.:

sumber:
https://www.zenius.net/blog/22841/pembahasan-limit-fungsi-beserta-limit-menuju-tak-hingga#:~:text=Limit%20menjelaskan%20suatu%20fungsi%20jika,makin%20didekati%20yaitu%20dengan%20limit.

Pertidaksamaan Kuadrat

Pengertian Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang memenuhi sifat urutan bilangan tertentu.Pertidaksamaan dinyatakan dengan salah satu tanda dari lambing berikut;> <

Contoh Soal

Tentukan HP dari −x² − 3x + 4 > 0

Jawab

Pembuat nol

−x² − 3x + 4 = 0

x² + 3x − 4 = 0

(x+4) (x−1) = 0

x = −4 atau x = 1

Untuk interval −4 < x < 1, ambil x = 0

−x² − 3x + 4 = −(0)² − 3(0) + 4 = 4 (+)

Karena pertidaksamaan bertanda “>” , Jadi, daerah penyelesaian ada pada interval yang bertanda (+).

∴ HP = {−4 < x < 1}

Langkah-Langkah Penyelesaian

Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat bisa ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut yang dijelaska dibawah ini :

Langkah 1

Tentukanlah pembuat nol dengan cara merubah tanda pertidaksamaan hingga menjadi “sama dengan”. Akar-akar persamaan kuadrat yang didapat yaitu pembuat nol.

−x² − 3x + 4 = 0 dan dikali dengan -1 sehingga menjadi x² + 3x - 4 = 0

Selanjutnya dicari pemfaktorannnya sehingga menjadi (x +4)(x-1) = 0

dan

dari persamaan tersebut bisa dicari dengan memakai cara ini..

Pertama gunakan :

x + 4 = 0

= -4

Kedua kita gunakan :

x – 1 = 0

= 1

Maka, pembuat nolnya sudah didapat yaitu -4 dan 1.

Langkah 2

Gambarlah pembuat nol pada garis bilangan, Lalu tentukan tanda masing-masing interval dengan cara mensubstitusi sembarang bilangan yang ada pada tiap interval ke persamaan pada ruas kiri. Tulis (+) adai hasil substitusi adalah bernilai positif dan tulis (−) jika hasil substitusi adalah bernilai negatif.

Langkah 3

Tentukanlah daerah penyelesaian atau arsiran.

Untuk pertidaksamaan “>” atau “≥”, daerah penyelesaian yang berada pada interval bertanda positif (+).

Untuk pertidaksamaan “<” atau “≤”, daerah pernyelesaian yang berada pada interval bertanda negatif (−).

Langkah 4

Tulis sebuah himpunan penyelesaian, yaitu interval yang memuat daerah penyelesaian.

Himpunan penyelesaian ada pada ujung-ujung interval

sumber:
https://rumus.co.id/pertidaksamaan-kuadrat/

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan real x ialah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan. Dan digambarkan dengan │x│. Secara formal nilai mutlak didefinisikan sebagai berikut :

contoh soal;

$\left | 2x + 5 \right | < 17$

Berdasarkan pertidaksamaan nilai mutlak, akan diperoleh persamaan di bawah.

$-17 < 2x + 5 < 17$

$-17 -5 < 2x < 17 - 5$

$-22< 2x < 12$

$- \frac{22}{2}< x < \frac{12}{2}$

$- 11 < x < 6$

Jadi, himpunan penyelsaian yang sesuai untuk pertidaksamaan $\left | 2x + 5 \right | < 17$ adalah $- 11 < x < 6$ .

Fungsi Kuadrat Parabola

FUNGSI KUADRAT

Sifat Kurva Parabola

1. Berdasarkan koefisien “ɑ”

Nilai a memiliki fungsi sebagai penentu arah membukanya suatu grafik.

Apabila a > 0, parabola terbuka ke atas sementara titik baliknya minimum sehingga memiliki nilai minimum.
Apabila a < 0, parabola terbuka ke bawah sementara titik baliknya maksimum sehingga memiliki nilai maksimum.

2. Berdasarkan koefisien “b”

Nilai b memiliki fungsi sebagai penentu untuk menentukan posisi sumbu simetri yang ada pada grafik.

Untuk a dan b bertanda sama (a > 0, b > 0) atau (a < 0, b <0) maka, sumbu simetri posisinya ada di kiri sumbu y.
Untuk a dan b berlainan tanda (a < 0, b > 0) atau (a > 0, b < 0) maka, sumbu simetri posisinya ada di kanan sumbu y.

3. Berdasarkan koefisien “c”

Nilai c memiliki fungsi sebagai penentu titik potong dengan sumbu y.

Apabila c > 0, grafik parabola memotong di sumbu y positif.
Apabila c < 0, grafik parabola memotong di sumbu y negatif.

4. Berdasarkan D = b² – 4ac (diskriminan)

D > 0 berarti garis akan memotong parabola ada di dua titik.
D = 0 berarti garis memotong parabola di satu titik (menyinggung)
D < 0 berarti garis tidak memotong dan tidak akan menyinggung parabola.

Contoh soal

fungsi kuadrat dari f(x)=x²-6x+8

jawab;

a= 1 b=-6 c=8

Ø Tipot sumbu x

x²-6x+8=0
(x-2)(x-4)=0
x=2 atau x=4

Sehingga, titik potong dengan sumbu X yaitu (2,0) dan (4,0)

Ø Tipot sumbu Y

Jika x=0

y=x²-6x+8
y=0²-6(0)+8=8

Sehinga, titik potong dengan sumbu Y yaitu (0,8)

Ø Mencari Deskriminan

D=b²-4ac

=(-6)²-4(1)(8)

=36-32

Ø Titik puncak

Sumbu simetrinya yaitu x=3 dan nilai ekstrimnya yakni -1.

sumber:

https://www.yuksinau.id/fungsi-kuadrat/

Limit Euler dan Limit Trigonometri

Limit Euler

Teorema 1. Apabila $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} f(x)=0$ dan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} g(x)=\pm \infty$ maka

$\begin{equation*} \displaystyle \lim_{x\rightarrow c} \left(1+f(x)\right)^{g(x)}=e^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} f(x)g(x)}. \end{equation*}$

Supaya lebih memahami penggunaan teorema di atas, diperhatikan contoh-contoh berikut ini.

Contoh 1. Tentukan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}$ .
Penyelesaian.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{3x-2}.$

Apabila berturut-turut diambil $f(x)=\displaystyle \frac{-2}{x+1}$ dan $g(x)=3x-2$ maka

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=0~\text{dan}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}g(x)=\infty.$

Berdasarkan teorema di atas diperoleh

$\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}&=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{3x-2}\\ &=\displaystyle e^{\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{-2}{x+1}\cdot (3x-2)}\\ &=e^{-6} \end{split}. \end{equation*}$

Contoh 2. Tentukan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^{\frac{x}{x^{2}-3x+2}}$ .
Penyelesaian.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^{\frac{x}{x^{2}-3x+2}}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\left(1+(x-1)\right)^{\frac{x}{(x-1)(x-2)}}.$

Apabila diambil $f(x)=(x-1)$ dan $g(x)=\displaystyle \frac{x}{(x-1)(x-2)}$ maka

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x)=0~\text{dan}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}g(x)=\pm\infty (\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=\infty~\text{dan}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}g(x)=-\infty).$

Berdasarkan teorema di atas diperoleh

$\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^{\frac{x}{x^{2}-3x+2}}&=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\left(1+(x-1)\right)^{\frac{x}{(x-1)(x-2)}}\\ &=\displaystyle e^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}(x-1)\cdot\frac{x}{(x-1)(x-2)}}\\ &\displaystyle e^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x}{x-2}}\\ &=e^{-1} \end{split} \end{equation*}$

Teorema Limit Trigonometri

Ada beberapa teorema yang dapat digunakan untuk menuntaskan persoalan limit trigonometri yaitu sebagai berikut ;

Teorema A

Teorema tersebut hanya berlaku pada saat (x -> 0) .

Teorema B

Terdapat beberapa teorema yang berlaku. Untuk setiap bilangan real ( asli ) “c” di dalam daerah asal fungsi yaitu :

Biasanya dalam sebuah soal limit fungsi trigonometri nilai terdekat dari limit fungsi nya yaitu berupa sudut – sudut istimewa yaitu sudut yang mempunyai nilai sederhana. Karna itu kita perlu mengetahui nilai – nilai sudut istimewa yang terdapat pada tabel di bawah ini :

Tabel sudut istimewa

Contoh Soal 1

SOAL 1

Jawab ;

Melihat bentuk limit pada soal di atas kita bisa langsung mensubtitusikan nilai x.

SOAL 2

Jawab ;

Melihat bentuk limit di atas maka kita bisa mengarahkan limit ke bentuk teorema A

Namun dalam soal fungsi sinus adalah 3x bukan x sebagaimana syarat dari teorema A. Maka kita dapat mengalikan fungsi dengan 1 agar nilai nya tidak berubah

Dapat dikali dengan 3/3 hal ini tidak merubah fungsi karena sama dengan di kali 1. Setelah itu kita dapat memisalkan agar fungsi berbentuk seperti teorema A yaitu dengan memisalkan 3x.

Misal y = 3 x maka y –> jika dan. hanya jika x – > 0 sehingga ;

SOAL 3

Nilai;

Jawab ;

kita tidak bisa langsung mensubtitusikan nilai x ke fungsi dikarenakan hasil nya akan 0 ini adalah contoh soal limit tak tentu. kita bisa memfaktorkan fungsi penyebut agar kita mendapat (x-2) sehingga berlaku teorema A