Turunan Fungsi dan Aturan Rantai

ATURAN RANTAI

Misalkan $y=f(u)$ dan $u=g(x)$. Jika $g$ terdiferensialkan pada $x$ dan $f$ terdiferensialkan pada $u=g(x)$, maka fungsi komposisi $f\circ g$ yang didefinisikan sebagai $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$ terdiferensialkan pada $x$, dengan$$\begin{array}{r}{D}_x\left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)g^{\prime }\left(x\right)\end{array}$$atau$$\begin{array}{r}\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\end{array}$$

Dari bentuk di atas, terlihat bahwa seakan-akan $du$ pada ruas kanan dapat dicoret, sehingga ruas kanan menjadi sama persis dengan ruas kiri. Meskipun, sebenarnya tidak seperti ini, tetapi hal ini dapat memudahkan kita dalam mengingat aturan rantai pada turunan. Berikut adalah beberapa contoh penerapan aturan rantai.

Contoh 1

Tentukan turunan pertama dari $f(x)=(2x+1{)}^{10}$.

Pertama, tulis fungsi di atas sebagai $y=(2x+1{)}^{10}$.Selanjutnya, kita misalkan $u=2x+1$, sehingga $y=u^{10}$. Tentukan turunan masing-masing fungsi.$$\begin{array}{rl}u& =2x+1⟹\frac{du}{dx}=2\\ y& =u^{10}⟹\frac{dy}{du}=10u^9\end{array}$$

Dengan aturan rantai, diperoleh$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\ & =10u^9\cdot 2\\ & =20u^9\\ & =20(2x+1{)}^9\end{array}$$Jadi, turunan pertama $f(x)$ adalah $f^{\prime }(x)=20(2x+1{)}^9$.

Contoh 2

Tentukan turunan pertama dari $y=\sin 7x$.

Pertama, kita misalkan $u=7x$, sehingga $y=\sin u$. Tentukan turunan kedua fungsi di atas.$$\begin{array}{rl}u& =7x⟹\frac{du}{dx}=7\\ y& =\sin u⟹\frac{dy}{du}=\cos u\end{array}$$

Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\ & =\left(\cos u\right)\cdot 7\\ & =7\cos u\\ & =7\cos 7x\end{array}$$Jadi, turunan pertama dari $y=\sin 7x$ adalah $y^{\prime }=7\cos 7x$.

Contoh 3

Tentukan turunan pertama dari $y={\sin }^{3}2x$.

Fungsi di atas merupakan komposisi dari tiga buah fungsi. Tulis $y={\left(\sin 2x\right)}^3$. Misalkan $u=2x$, $v=\sin u$, dan $y=v^3$. Untuk pemisalan, kita mulai dari fungsi yang letaknya lebih dalam, diikuti oleh fungsi-fungsi yang berada di luarnya. Selanjutnya, kita tentukan turunan fungsi-fungsi tersebut.$$\begin{array}{rl}u& =2x⟹\frac{du}{dx}=2\\ v& =\sin u⟹\frac{dv}{du}=\cos u\\ y& =v^3⟹\frac{dy}{dv}=3v^2\end{array}$$

Selanjutnya, kita gunakan aturan rantai.$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{dv}\cdot \frac{dv}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\ & =3v^2\cdot \left(\cos u\right)\cdot 2\\ & =6v^2\cos u\end{array}$$

Turunan fungsi di atas masih memuat variabel $u$ dan $v$. Ingat bahwa $u=2x$ dan $v=\sin u=\sin 2x$. Akibatnya$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =6v^2\cos u\\ & =6\cdot {\left(\sin 2x\right)}^2\cdot \cos 2x\\ & =6\cdot {\sin }^{2}2x\cdot \cos 2x\end{array}$$Jadi, turunan pertama dari $y={\sin }^{3}2x$ adalah $y^{\prime }=6\cdot {\sin }^{2}2x\cdot \cos 2x$.