Turunan Fungsi Implisit

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

Dalam tulisan ini, kita akan belajar menentukan turunan fungsi implisit. Saat membaca tulisan ini, kita tentu sudah mahir menentukan turunan fungsi yang dinyatakan secara eksplisit. Misalnya $y=4x^2+x$, dengan turunan $\frac{dy}{dx}=8x+1$. Namun, coba perhatikan fungsi berikut ini.$$\begin{array}{r}4x^{2}y-xy=x^3+1\end{array}$$

Persamaan di atas mendefinisikan y sebagai fungsi implisit dari x. Tapi ternyata persamaan di atas dapat dimodifikasi sehingga y menjadi fungsi eksplisit dari x.$$\begin{array}{rl}4x^{2}y-xy& =x^3+1\\ \left(4x^2-x\right)y& =x^3+1\\ y& =\frac{x^3+1}{4x^2-x}\end{array}$$

Nilai dari $\frac{dy}{dx}$ dapat dicari dengan menggunakan aturan pembagian.$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{3x^2(4x^2-x)-(x^3+1)(8x-1)}{(4x^2-x{)}^2}\\ & =\frac{(12x^4-3x^3)-(8x^4-x^3+8x-1)}{(4x^2-x{)}^2}\\ & =\frac{4x^4-2x^3-8x+1}{(4x^2-x{)}^2}\end{array}$$

Turunan fungsi di atas dapat dicari dengan mengubahnya menjadi fungsi dalam bentuk eksplisit. Tapi, tidak semua fungsi dapat diubah menjadi bentuk eksplisit. Misalnya fungsi$$\begin{array}{r}{y}^3-2y=3x^2-1\end{array}$$

Karena adanya fungsi semacam ini, maka kita perlu belajar menentukan turunan dari fungsi yang dinyatakan secara implisit. Sesuai namanya, proses penentuan turunan fungsi implisit disebut turunan implisit. Kita akan menentukan turunan dari fungsi di atas.

Pertama, turunkan kedua ruas persamaan di atas terhadap $x$.$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}(y^3-2y)& =\frac{d}{dx}(3x^2-1)\end{array}$$

Jika diturunkan terhadap $x$, ekspresi aljabar yang memuat $y$ tidak dapat dipandang sebagai sebuah konstan, yang turunannya bernilai nol. Karena, sebelumnya telah dibicarakan bahwa y merupakan fungsi implisit dari x. Untuk itu, kita perlu menggunakan aturan rantai.

Misalkan $u=y^3-2y$, sehingga$$\begin{array}{rl}\frac{du}{dx}& =\frac{du}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}\\ & =(3y^2-2)\frac{dy}{dx}\end{array}$$

Atau secara operasional, jika ekspresi aljabar tersebut hanya memuat y, maka kita cukup menentukan turunannya terhadap y, kemudian mengalikannya dengan $\frac{dy}{dx}$. Turunan dari $y^3-2y$ terhadap y adalah $3y^2-2$, sehingga turunannya terhadap x adalah $(3y^2-2)\frac{dy}{dx}$. Dengan menentukan turunan dari suku lainnya, kita peroleh$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}(y^3-2y)& =\frac{d}{dx}(3x^2-1)\\ (3y^2-2)\frac{dy}{dx}& =6x\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{6x}{3y^2-2}\end{array}$$

CONTOH 2

Tentukan $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$ dari $4x^{2}y-xy=x^3+1$ dengan turunan implisit.

Pembahasan

Pertama, kita turunkan kedua ruas terhadap x. Agar proses pengerjaan menjadi lebih sederhana, kita akan menggunakan notasi $y^{\prime }$ untuk menggantikan $\frac{dy}{dx}$.$$\begin{array}{rl}(8xy+4x^2{y}^{\prime })-(y+x{y}^{\prime })& =3x^2\\ 8xy+4x^2{y}^{\prime }-y-x{y}^{\prime }& =3x^2\\ 4x^2{y}^{\prime }-x{y}^{\prime }& =3x^2-8xy+y\\ (4x^2-x)y^{\prime }& =3x^2-8xy+y\\ y^{\prime }& =\frac{3x^2-8xy+y}{4x^2-x}\end{array}$$

Akhirnya, kita peroleh hasil dengan turunan implisit. Jika dilihat secara sekilas, hasil ini berbeda dari hasil yang diperoleh sebelumnya. Namun coba perhatikan, ternyata hasil ini masih memuat variabel y, sedangkan hasil yang kita peroleh sebelumnya hanya memuat variabel x. Kita ketahui bahwa$$\begin{array}{rl}y& =\frac{4x^2-x}{x^3+1}\end{array}$$

Substitusi nilai y pada hasil yang diperoleh dengan turunan implisit.$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\frac{3x^2-8xy+y}{4x^2-x}\\ & =\frac{3x^2-8x\left(\frac{x^3+1}{4x^2-x}\right)+\left(\frac{x^3+1}{4x^2-x}\right)}{4x^2-x}\\ & =\frac{\frac{3x^2(4x^2-x)}{4x^2-x}-\frac{8x(x^3+1)}{4x^2-x}+\frac{x^3+1}{4x^2-x}}{4x^2-x}\\ & =\frac{\frac{(12x^4-3x^3)-(8x^4+8x)+(x^3+1)}{4x^2-x}}{4x^2-x}\\ & =\frac{\frac{4x^4-2x^3-8x+1}{4x^2-x}}{4x^2-x}\\ & =\frac{4x^4-2x^3-8x+1}{(4x^2-x{)}^2}\end{array}$$