Pertidaksamaan Nilai Mutlak

  Pertidaksamaan Nilai Mutlak      

Nilai mutlak suatu bilangan real x merupakan jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan. Dan dilambangkan dengan │x│. Secara formal nilai mutlak didefinisikan:

Contoh : │–3│ = 3 , │5│ = 5 , │4 – 6│ = │4 – 6│

Sifat-sifat pertidaksamaan nilai mutlak pada interval terbuka:

Sifat-sifat diatas berlaku pula untuk interval tertutup.

Untuk pemahaman lebih lanjut, ikutilah contoh soal beriku ini:

01. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :
(a) │x – 6│ ≤ 9

(b) │x + 2│ > 4

Jawab
(a) │x – 6│ ≤ 9

      –9 ≤ x – 6 ≤ 9
      –9 + 6 ≤ x – 6 + 6 ≤ 9 + 6
      –3 ≤ x ≤ 15

(b) │x + 2│ > 4
      x + 2 < –4 atau x + 2 > 4
      x < –4 – 2 atau x > 4 – 2
      x < –6 atau x > 2

02. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :
(a) │2x + 1│ ≥ │x – 2│

(b) │x + 2│ > 2│x – 1│

Jawab
(a) │2x + 1│ ≥ │x – 2│

     (2x + 1)2 ≥ (x – 2)2
     4x2 + 4x + 1 ≥ x2 – 4x + 4
     3x2 + 8x – 3 ≥ 0
     (3x – 1)(x + 3) ≥ 0
     x1 = 1/3 dan x2 = –3
     Jadi x ≤ –3 atau x ≥ 1/3

(b) │x + 2│ > 2│x – 1│
      (x + 2)2 > 4(x – 1)2
      x2 + 4x + 4 > 4(x2 – 2x + 1)
      x2 + 4x + 4 > 4x2 – 8x + 4
      3x2 – 12x < 0
      3x(x – 4) < 0
      x1 = 0 dan x2 = 4
     Jadi 0 < x < 4

Limit Kontinu

Contoh Soal 1 Diskontinu Sebab tak Terdefinisi
Jelaskan kenapa fungsi berikut diskontinu di x=1$x=1$

f(x)=x2+1x−1$$f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$$

Pembahasan Contoh Soal 1
Jika diperhatikan fungsi f(x)=x2+1x−1$f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$ mempunyai domain Df={x∈R:x≠1}$D_f=\{x\in \mathbb{R}:x\ne 1\}$.

Jadi fungsi f$f$ didefinisikan di semua bilangan riil kecuali x=1$x=1$ sehingga nilai f(1)$f(1)$ tidak ada.

Berdasarkan syarat fungsi diskontinu, fungsi f(x)=x2+1x−1$f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$ diskontinu pada titik x=1$x=1$.  ■$◼$

Contoh Soal 2 Diskontinu Sebab Limit Tak Ada
Diberikan fungsi

g(x)={x+1,x2x≤4x>4$$\mathrm{<br>}$$$$g(x)=\{\begin{array}{cc}x+1,& x\le 4\\ x^2& x>4\end{array}$$

Tunjukkan bahwa fungsi g$g$ tidak kontinu di titik x=4$x=4$ !

Pembahasan Contoh Soal 2
Jika dilihat fungsi g$g$ tersebut di titik x=4$x=4$, maka Anda bisa tahu bahwa fungsi tersebut mempunyai nilai di titik x=4$x=4$.

Pada titik x=4$x=4$ nilai fungsi g$g$ adalah 5. Dengan kata lain g(4)=x+1=5$g(4)=x+1=5$.

Akan tetapi, ketika x$x$ mendekati dari kiri maka

limx→4−g(x)=5$$\underset{x\to 4^{-}}{lim}g(x)=5$$

.

Sedangkan ketika mendekati nilai x$x$ dari kanan nilai

limx→4+g(x)=16$$\underset{x\to 4^{+}}{lim}g(x)=16$$

.

Jadi pada titik x=4$x=4$ limit fungsi tidak ada karena mempunyai limit kiri dan limit kanan tidak sama.

Oleh karena itu, fungsi g$g$ diskotinu di titik x=4$x=4$. ■$◼$

Contoh Soal 3 Diskontinu Sebab Beda Limit dan Nilai
Tunjukkan diskontinu fungsi berikut

h(x)=⎧⎩⎨⎪⎪x210x+42x≤7x=7x≥7$$h(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2& x\le 7\\ 10& x=7\\ x+42& x\ge 7\end{array}$$

Pembahasan Contoh Soal 3
Langsung saja Anda perhatikan pada titik x=7$x=7$ karena pada titik tersebut terbagi tiga kasus.

Pada fungsi h$h$ ketika x<7$x<7$ dan x>7$x>7$ mempunyai limit yang sama yaitu limx→7h(x)=49$\underset{x\to 7}{lim}h(x)=49$.

Akan tetapi nilai dari fungsi h$h$ di titik x=7$x=7$ sama dengan h(7)=10$h(7)=10$.

Jadi f(7)≠limx→7h(x)$f(7)\ne \underset{x\to 7}{lim}h(x)$. Oleh karena itu, fungsi h$h$ diskontinu di titik x=7$x=7$.■$◼$